Selma Björnsdóttir (Reikiavik, 13 de junio 1974) es la tercera de las cuatro hijas de Björn Friðbjörnssonar y Aldísar Elíasdóttur. En su casa se respiraba el arte, pues dos de sus tres hermanas son bailarinas y la otra es cantante de ópera. Ella misma asistió en un principio a clase de ballet y estudió chelo siendo aún muy niña. Su debut en el cine se produce con sólo siete años de edad en Cenicienta y con diez años ella y su hermana participan en la ópera ingfantil Örkinni hans Nóa (El arca de Noé) que se representa en la Opera de Islandia, a raíz de lo cual hará posteriormente un pequeño papel en una representación de Carmen y en el musical infantil Kardemommubænum (Cuando los ladrones llegaron a la ciudad de Cardemom) en 1990.

En 1990 empieza sus estudios en la Verzlunarskóli Íslands (Escuela Comercial de Islandia), que es uno de los principales centros privados de bachillerato en la isla. Allí participa en un montaje de Jesuschrist Superstar y gana un concurso de canto y el profesor de música le presenta a Thorvald Bjarni Thorvaldsson, que colaboraría con ella muy estrechamente en un futuro. Thorvaldsson la invita a formar parte de la compañía Fantasía en la que permanece dos años. En 1995 participa en el montaje de West Side Story en el Teatro Nacional de Islandia. En 1996 empieza a aparecer en televisión en el programa O y dos años más tarde consigue el papel de Sandy en el musical Grease, en el que también participaba el actor y cantante Runar Frey Gislason, que más tarde se convertiría en su marido. Es en este musical, además, donde ella salta a la fama en su país como cantante y actriz. En 1998 gana la versión islandesa de Pop Idol.

A principios de 1999 Selma es designada para representar a Islandia en eurovisión con All out of luck, canción que fue elegida por la propia Selma entre 19 opciones. Quedó en un notable segundo lugar, la mejor posición islandesa hasta el momento, sólo igualada en 2009. La canción  permaneció en las listas islandesas siete semanas seguidas y le abrió las puertas del extranjero. El vestido que usó Selma en Jerusalén fue expuesto en el Hard Rock Café del centro comercial Kringlan, el mayor de la capital islandesa.

Enseguida consiguió un contrato para tres discos con la discográfica Universal y graba su primer álbum I am, en el mismo 1999, que consigue la categoría de platino. Ese año recibe también el premio a la Mejor artista islandesa. Al año siguiente saca a la venta su segundo álbum, Life won’t wait, que no tiene ni mucho menos el éxito del anterior. Selma vuelve a concentrarse en su trabajo en musicales protagonizando algunos tan conocidos como The Rocky Horror Show, Cantando Bajo la Lluvia, Romeo & Julieta, Hair y, más recientemente, el musical infantil Ávaxtakörfunni (La Cesta de Fruta). También ha hecho televisión, apareciendo en numerosos episodios de la serie LazyTown desde 2004. Selma también ha doblado a varias princesas de la factoría Disney al islandés, en otras, Bella, Tiana, Giselle y Megara. También ha trabajado como actriz en la película de 2017 Buenos Vecinos y en 2021 en la serie dramática Verbúdin y la película Blackport. En 2022 actuó en la película Perdidos en el Ártico. La cantante se ha centrado en los últimos años mas en su carrera como actriz que en la musical. 
En 2002 grabó el primero de sus dos discos con Hansa, Sögur af Sviðinu; el segundo será Sögur af Konum en 2006.

En 2005 vuelve a ser designada para representar a Islandia en Eurovisión, pero esta vez If I had your love no pasa a la final, quedando en el puesto 16 de la semifinal en Kiev. Selma ostenta así el curioso record de ser la interprete islandesa que ha logrado la mejor y la peor posición para su país. Al año siguiente acompañó a Silvia Night en su polémica actuación en Atenas, pues su marido, Runar Frey Gislason, formaba parte de los coros.

El mismo 2005 Selma es una de las artistas invitadas en la gala Eurovisión en el Europride celebrado en Oslo junto a Baccara, Nanne, Bobbysocks y Nora Brockstedt entre otros. Esa misma noche dio un recital personal en el nightclub Smuget de la capital noruega, donde estuvo acompañada por el también representante islandés en Eurovisión Paul Oscar. En 2009 fue jurado del Idol Stjörnuleit, versión islandesa del Pop Idol. Al año siguiente sacó al mercado su, hasta el momento, último disco, Alla leið til Texas, (Todo el camino hacia Texas).

En 2012 retoma su trabajo en el teatro musical y participa en Los Miserables. En 2014 graba un nuevo disco, Deep Organic. Al cabo de dos años, a principios de 2016, sale al mercado un nuevo disco de larga duración, Respect Yourself, del que extrajo un sencillo con el mismo título. En el mes de mayo de 2017 salió a la venta su último EP bajo el título de Selma & Satan.