Slavko Kalezić nació el 10 de octubre de 1985 en la capital montenegrina, Podgorica. Tras finalizar Filología en 2004, se apuntó a la facultad de Artes Dramáticas de Cetiña, en la clase del profesor Boro Stjepanović. Terminó el primer año de estudios en actuación y, además, se especializó en canto y baile. Probó suerte después en un Master también en la misma facultad, en el que participó en cinco actuaciones teatrales: Noć tribada, Bliskost, Art, San ljetnje noći (Sueño de una noche de verano) y Tajni zapisi o skandalu.

En el teatro nacional, del cual forma parte desde 2008, ha interpretado papeles en hasta seis obras teatrales, dirigidas entre otros por Lidija Dedović, Paolo Mađeli o Diego de Brea. Probablemente, las obras más importantes en las que haya participado son Balkanska carica, dirigida por Radmila Vojvodić, y Artilerija rustikana, con la Escuela de Música Vasa Pavić de Podgorica.

Aparte del teatro nacional, Slavko ha pisado otros escenarios, como las producciones del Centro Cultural Tivat, el Teatro de Podgorica o el Teatro Joven de Cetiña. También ha realizado apariciones en películas de producción montenegrina como Desant na Prčevo, dirigida por Drasko Djurović, y a nivel internacional bajo las directrices del francés Luc Besson, entre otros. Por otra parte, también ha aparecido en la serie de televisión Budva na pjenu od mora, aunque únicamente en el episodio piloto.

De todas formas, por lo que se dio a conocer fue por participar en la versión yugoslava de Factor X de 2013. Entre sus primeros singles, destacan Krivav y Feel the Love. Su álbum debut, San o vječnosti, llegó al mercado en octubre de 2015. En septiembre de 2016 publicó dos nuevos singles, Sudnji dan y Freedom. Habla con fluidez inglés, italiano y español.

A dos días de terminar 2016, la RTCG de Montenegro lo anunció como su representante para Eurovisión en 2017 con la canción Space. En Kiev quedó encuadrado en la primera semifinal, en la que consiguió el decimosexto puesto con 56 puntos, posición que impidió que pasara a la final del sábado. Recibió el premio Bárbara Dex al artista peor vestido del festival. Ese verano visitó España para actuar en el World Pride de Madrid.

En julio se presentó a la decimocuarta temporada de la versión británica de Factor X, recibiendo el respaldo de 3 de los 4 jurados. En su participación fue eliminado justo antes de las galas en directo. En una de las fases, tuvo un incidente con su famosa coleta que salió volando al agitarla con mucha intensidad, lo que provocó el regocijo del público y jurado. En abril de 2018 publicó un libro, Moja Istina (Mi Verdad), donde cuenta, entre otras, sus experiencias en Eurovisión y Factor X. En mayo fue invitado por la RTP para viajar al festival de Lisboa y actuar en varios eventos en los que interpretó remixes de Space junto con su nuevo sencillo El ritmo.

En 2020, durante la pandemia de COVID-19, Slavko decidió llevar a escena una obra escrita por Zana Poliakov y titulada Soulfood. Se trata de un monólogo, narrado desde un punto de vista femenino, con el que el actor se identificó desde que leyó el libro por primera vez, y que estrenó en el Teatro Nacional de Montenegro en mayo de 2021. Posteriormente lo ha representado en Danilovgrad y su intención es traducirlo al inglés para poder representarlo fuera de las fronteras de su país. En mayo de 2022 lanzó un nuevo single, Ko smo mi? (¿Quienes somos?), un tema dance de apenas dos minutos y medio de duración en el que intercala algunas frases en castellano.